Kystmatematik

En række matematiske øvelser ved kysten for skolens ældste klasser.

Mål afstande med vinkler. Foto: Lars Hansen.

Kort om forløbet

Danmarks kyster er spændende for børn og unge. De bruger kysten i fritiden, når de bader ved stranden, går tur med forældrene eller fisker og sejler. Kysten er et varieret og spændende naturområde. Kystens kulturhistorie er præget af danskernes tætte tilhørsforhold til havet og der er mange gode fortællinger knyttet til livet langs kysten - fortællinger om fiskeri, sejlads, sørøvere, stormflod, bådebyggere og badeferier.
 

Formål

Matematikundervisning i de ældste klasser kan foregå andre steder end i klasselokalet. Ved kysten er der mulighed for at inddrage omgivelserne i det matematiske undersøgelsesarbejde. En kyst er under stadig forandring og udgør et levende og alsidigt miljø. Naturens elementer kan være genstand for undersøgelser af vandstanden, kystlinjen eller afstande til øer og klintens top. Også de menneskeskabte havne, badebroer og beplantninger kan bruges og beskrives i matematikundervisningen.

Undersøgelser kan danne grundlag for matematisk modellering og dække flere faglige områder: geometri, tal og algebra og statistik.

Smutsten
Regn med smutsten. Foto: Malene Bendix.

Forberedelse

Generel forberedelse
Der er i princippet adgang til alle Danmarks kyster. Det er dog vigtigt at sikre sig at man må opholde sig i længere tid på det kystområde, som er udgangspunktet for undervisningen. Der skal være mere end 50 m til det nærmeste hus og på nogle havne og badebroer skal ejerens tilladelse indhentes.
Husk også at vandstanden kan ændre sig i forhold til vejr og tidevand. Vandet lokker, så det er også en god idé at have styr på skolens baderegler og elevernes badetøj.

Faglig forberedelse
De forskellige aktiviteter lægger op til forskellig forberedelse. Til nogle af aktiviteterne er det er en fordel at forberede eleverne på det faglige stof. Det kan udendørs være svært at forklare hvordan måleudstyr bruges, uddybe begrundelser for formler eller beskrive konkrete regnemetoder. Da der ved kysten ofte er vind og vand er det uheldigt at være meget afhængig af lange forklaringer på kopiark. Evt. kan de vigtigste formler og regnemetoder vises på laminerede ark.

Nogle aktiviteter skal dokumenteres via data, som skal anvendes tilbage i klasselokalet. Resultaterne kan noteres på papir (f.eks. en skov-notesbog) eller indtales eller fotograferes på mobilen. Forbered i klassen metoden til dataopsamling med eleverne, så I er sikre på at få alle relevante data med hjem.

Efterbehandling i klasselokalet
De opgaver, som skal bearbejdes videre hjemme i klasselokalet, kræver at eleverne har præcise data og kan huske det som foregik ved kysten. Igen er et kamera en stor hjælp til at huske og dokumentere arbejdsproces.

Efterbehandlingen skal sikre sammenhængen mellem undervisningen i uderummet og indeundervisningen. I klasselokalet er det oplagt at arbejde med opgaven ved at bruge repræsentationsformer på papir eller computer. Fortællinger, fotoreportager og videoklip kan supplere, hvis resultaterne skal præsenteres for andre.

Samling af smutsten
Hvilke smutsten smutter bedst? Foto: Malene Bendix.
 

Sådan gør du

Kom i gang

Her er ideer til små kropslige aktiviteter som start på undervisningen eller til at få varmen i pauserne:
  1. Bind for øjnene – stil jer efter højde
  2. Slå smut – hvem får flest? Er der en form og vægt på den perfekte slå-smut-sten?
  3. Afsæt en strækning i vandet og lav en svømmekonkurrence. Lad eleverne udforme reglerne.
  4. Vinkel-leg. Sørg for at der er meget plads og ingen genstande som eleverne kan falde over. I grupper tre og tre. Legen begynder med at de to ”robotter” står med ryggen til hinanden med armene strakt ud og bind for øjnene. Den tredje i gruppen skal få robotterne til at mødes med hænderne mod hinanden. De begynder at gå langsomt i konstant tempo. En dirigerer ved at røre de to andre på skulderen – højre skulder – drej 90 grader til højre, venstre skulder – drej 90 grader til venstre. Legen repeterer forståelse for ret vinkel, er underholdende og giver varmen.
  5. Gæt 50 m – brug et kropsmål og øv jer i at bedømme afstanden. Kan bruges som indledning til aktivitet 3.
  6. Find vej på kort. To sidder med ryggen til hinanden. De har samme kort – beskriv en vejstrækning ved at bruge matematikudtryk. Kortet kan være printet fra Google Maps. Husk målestoksforhold.
 
Sten på sten
Søjle af sten. God at skyde til måls efter. Foto: Malene Bendix.

Aktivitet 1. Stensøjler

Tid
1 time

Hvad skal I bruge
  • en kyststrækning med mange sten
  • metermål
  • kamera
Sådan gør I
Der er mening i at bygge mange stentårne eller varder i matematik. Hvor mange sten kan I stable på hinanden? Leg og prøv!
 
Stil krav til søjlernes placering, så I danner et mønster langs vandkanten. 1 meter mellem søjlerne og 1 meter fra vandkanten. Byg mange søjler og nyd synet. Dokumentér med kamera. Mål kystlinjens længde ved hjælp af søjlerne. Vurdér resultatet.
 
I kan også bruge søjlerne til at skyde til måls efter. Hvordan hænger afstanden til søjlen sammen med antallet af kast der skal til, før den er væltet?
 
Drømmestrand
Hvordan ser din drømmestrand ud?
Foto: Kystdirektoratet.

Aktivitet 2. Hvordan ser din drømmestrand ud?

Tid
1 – 2 timer 

Hvad skal I bruge
  • en eller flere forskellige kyststrækninger, gerne med varieret udseende og med badebroer
  • målebånd
  • målepind til at måle vanddybder
  • spande og små skovle
Sådan gør I
På baggrund af ture langs kysten skal eleverne redegøre for, hvordan deres drømmestrand skal se ud ved at lave en model af den i sand og sten - og med ting de finder langs stranden.
 
Giv eleverne mulighed for at beskrive nogle oplevelser, som de har haft ved strande.
 
Eleverne kan gøre følgende overvejelser før og under bygningen af modellen:
  • Vanddybde – beskriv hvordan vandet skal blive dybere fra strandkanten og længere ud. Vurder fordele og ulemper ved lavt og dybt vand. Svømmefærdigheder, vandets temperatur og mulighed for hovedspring.
  • Badebroen – længde og form og vanddybde langs broen.
  • Sand, sten, græs, skov – hvordan skal naturen være?
  • Afstand til toiletter og andre faciliteter.
  • Placering i forhold til verdenshjørner. Tænk på vind, bølgehøjder og solen.
  • Beskriv målestoksforholdet mellem modellen og den virkelige drømmestrand
Lad eleverne præsentere deres drømmestrand for de andre i klassen. Som efterbehandling kan I tage billeder oppefra og fra siderne og hjemme omsætte modellen til snittegning og kort. Måske kan det ende med at blive et forslag til kommunen om forbedring af deres badestrande.
 
Drømmestrand
 Er det din drømmestrand? Foto: Kystdirektoratet.

Aktivitet 3. Badeforbud?

Tid
1- 2 timer 

Hvad skal I bruge
  • En varieret kyststrækning med huse, havne og forskellig vegetation.
  • At have øvet jer i at vurdere en afstand på 50 m
  • Viden om at vurdere alderen på huse – fra før eller efter 1916
  • Kort over kyststrækningen, evt. fra Google maps
  • Hvis undersøgelsen inddrager en havn, kan I lave en aftale med havnefogeden om at begrunde badeforbud på havneområdet.
  • Naturbeskyttelsesloven (se boks)
NATURBESKYTTELSESLOVEN

§ 22. Strandbredder og andre kyststrækninger mellem daglig lavvandslinje og den sammenhængende landvegetation er åbne for færdsel til fods, kortvarigt ophold og badning. Adgang sker på eget ansvar. Det er tilladt kortvarigt at have en båd uden motor liggende på strandbredden. I perioden 1. april-30. september skal hunde føres i snor.
 
Stk. 2. Reglen i stk. 1 omfatter ikke arealer, der inden den 1. januar 1916 er udlagt som have eller inddraget under en erhvervsvirksomhed, der drives på ejendommen. Det samme gælder forsvarsanlæg og havneanlæg.
 
Stk. 3. Offentlighedens adgang må ikke forhindres eller vanskeliggøres.
 
Stk. 4. På privatejede strandbredder og kyststrækninger må ophold og badning ikke finde sted inden for 50 m fra beboelsesbygninger.

 
Sådan gør I
Gå en tur langs kysten og vurder, hvor I må bade. Indtegn det på kortet. Måske giver aktiviteten anledning til:
  • At vurdere om loven er rimelig
  • At undersøge hjemme hvordan loven er besluttet
  • At udforme elevernes ”lov”, rimelige regler om hvor man må bade ved danske kyster.
     

Aktivitet 4. Danmarks kystlinje - er den 7031 km?

FAKTA OM ØRIGET DANMARK

Danmark er et ørige med en kystlinie på over 7.000 km. Danmarks areal er på 43.093 km² og landet består af halvøen Jylland og 406 øer, hvoraf knap en femtedel er beboede. De største øer er Sjælland, hvor hovedstaden København ligger, og Fyn, der har broforbindelse til både Jylland og Sjælland. Danmark er et af Europas mest udprægede øriger, med en samlet kystlinie på 7.031 km.

 
Nordsøen afgrænser Danmark mod vest, mens øerne mod øst skiller Østersøen fra Kattegat. De danske øer ligger således på sejlruten fra Østersøen til verdenshavene og samtidig på trafikvejen fra de nordiske lande til Centraleuropa. Denne centrale placering i det baltiske område forklarer, hvorfor landet tidligt udviklede sig til en af Europas betydelige handelsnationer.
 
Den 69 km. lange landegrænse mod Tyskland i Sønderjylland er landets eneste. Dog blev Danmark fra den 1. juli 2000 også fast forbundet med Sverige via den knap 16 km. lange Øresundsforbindelse mellem København og Malmø.
 
Tid
1 – 2 timer
 
Hvad skal I bruge
  • En kyst (!)
  • Et langt reb (100 m) eller flere lange målebånd
Sådan gør I
Opgaven kan stilles på flere måder. Ideen er at få eleverne til at vurdere en oplysning som ofte fremsættes; at Danmarks kystlinje er ca. 7000 km. Hvordan er det målt? Ved hvilken vandstand? Hvem har besluttet målemetoden?
 
Det vigtigste er at eleverne selv finder en relevant måde at måle kystens længde på.
 
Ideer
  • Et stykke fra vandlinjen udmåler eleverne en afstand på 100 m i fugleflugtslinje. Eleverne gætter hvor lang den tilsvarende vandlinje er. Vandlinjen måles efter at eleverne har besluttet en målemetode.
  • Der lægges sten i vandkanten med en meters mellemrum over en strækning, som kan genkendes på et kort. Eleverne vurderer om denne målemetode kan bruges til opmåling af kystlinjen
  • Vandlinjen skridtes af ved almindelig gang. Der sammenlignes med en given afstand i fugleflugtslinje fra et detaljeret kort.
Efterbehandling i klasselokalet
  • Husk at skylle målebånd og reb.
  • I kan kontakte Kort og Matrikelstyrelsen (www.kms.dk) og få deres bud på Danmarks kystlinjes længde.
  • Kan kystlinjen måles på et kort? Prøv at måle på kort med forskellig målestok.
  • Hvem har interesse i at kende kystlinjens længde? (se f.eks. http://komud.dk/danmark-rundt-i-kajak/ )
  • Fraktaler og kystlinjer – se faktaboks ”Englands kystlinje”
ENGLANDS UENDELIGE KYSTLINJE

For at forstå ovenstående må vi gribe tilbage i tiden. I 1967 havde Mandelbrot i en epokegørende artikel i magasinet Science stillet spørgsmålet: "How long is the Coastline of Britain?". Spørgsmålet kan synes banalt i første omgang: Man kan vel bare finde et kort og måle det op! Mandelbrots pointe var imidlertid, at hvis man tager et kort med mindre målestoksforhold, altså zoomer ind på kystlinjen, så vil det, der på det forrige kort så ud til at være et forholdsvist lige stykker kystlinje, vise sig at at være krogede og bugtede kurver, med en væsentligt større længde end på det forrige kort.
 
Sådan kunne man fortsætte med at zoome ind og få en stadig større kystlinjelængde som følge, Man kan selvfølgelig fremdrage, at denne zoomen ind må stoppe på et tidspunkt, nå man når ned til det atomare niveau eller lignende, men fra et matematisk synspunkt kan forfiningen fortsættes uendeligt.
 
Eftersom følgen af kystlinjelængder vokser uden begrænsning med graden af zoom, følger det, at der ikke er nogen præcis matematisk definition af længden af en kystlinje.
 
 

Aktivitet 5. Mål afstanden til en ø, en havmølle, et skib eller enden af molen

Tid
2 – 3 timer
 
Hvad skal I bruge
  • Pinde/pæle, 4 pinde mærket A, B, C og D til hver gruppe. Ekstra pinde medbringes.
  • Snor
  • Målebånd
  • 3 – 4 – 5 snor til rette vinkler  
  • Lommeregner/mobil
 
3 - 4 - 5 målesnor
En 3 - 4 - 5 målesnor til at udmåle rette vinkler (via Pythagoras C2 = A2 + B2)
Tegning: Eva Wulff.
 
Sådan gør I
Den klassiske måling af hvor bred en å er, kan omformes til måling af afstande til øer eller til en havmølle eller en bøje. Eller at kunne måle afstanden til en båd, som ligger for anker for at afgøre om man kan svømme til båden.
 
Her er først princippet, når I skal måle bredden af en å:
 
HVOR BRED ER ÅEN ?

Mål og beregn bredden af en å

  • Vælg et punkt A på den anden bred.
  • Anbring en pind i vinkelret overfor, som punkt B.
  • Gå langs bredden og vælg et punkt C – og gå lige så langt igen til punkt D.
  • Gå nu vinkelret bort fra vandløbet, indtil punkterne A, C, og E ligger på linie: Afstanden fra D til E er nu lig åens bredde - altså afstanden fra A til B.
 
Fremgangsmåde (til læreren):
  1. Hvis eleverne er uøvede i arbejdet med landmåling kan det være en fordel at prøve at afsætte en ret linje med tre pæle. Eller afsætte et rektangel og lære at afsætte rette vinkler med 3 – 4 – 5 snoren.
  2. Bed eleverne gætte på afstanden til det, som skal måles. Tal om at vurdere afstande ved at kigge på genkendelige figurers størrelse – huse, master, biler, ol.
  3. Vis med pinde princippet ved afstandsmålingen. Gør det i lille målestok, så det er nemt at overskue for eleverne (se boks ovenfor og nedenfor).
  4. Lær eleverne at bruge 3 – 4 – 5 snoren til den rette vinkel. Den følger princippet for Pythagoras sætning: C2 = A2 + B2 
  5. Vær opmærksomme på om eleverne er nøjagtige ved pejlingen.
  6. Find et relevant forhold mellem den store trekant ud til øen og den ensdannede lille trekant på stranden.
  7. Udregn via målestoksforholdet mellem de to ligedannede trekanter (se nedenfor).
Fremgangsmåde (til eleverne)
Opgave til aktivitet 6. Hent opgaven som kopiark i word (se højre margin).
 
I skal måle afstanden til en havmølle, en pynt, en båd eller en ø.
 
Afstand over hav
Mål og beregn afstand til en ø.
Tegning: Eva Wulff.
  1. Først sætter i en pind A på stranden nogle meter fra vandkanten.
  2. I vælger et pejlingspunkt P på det, som I vil måle afstanden til.
  3. Nu skal I tegne en pejlingslinje fra pinden A til vandkanten
  4. Pinden B sættes 10 – 20 m fra A. Der skal være en ret vinkel mellem pejlingslinjen og linjestykket AB
  5. I forlængelse af AB afsættes pinden C. Ved målinger til ting som er meget langt væk sættes C 1 meter fra B. Ved afstandsmåling til ting som er tæt ved stranden kan pinden C sættes længere væk fra B.
  6. Nu går I vinkelret ud fra C, indtil vi kan se pejlepunktet P på båden eller øen gennem pinden i B. Her sætter vi pinden D.
  7. Afstanden mellem C og D måles.
  8. Afstanden til P udregnes. 
Efterbehandling
  • Check afstandene ved at måle på kort. Diskuter årsager til afvigelser.
  • Mål via Google earth
  • Eleverne kan bruge også deres viden om ensdannede trekanter til at måle højden af træer,  bygninger eller flagstænger.
     

Baggrund

Nyttige links
Danmarks miljøportal – kort med kystbeskyttelseslinjer
Vejledning om 300 m strandbeskyttelses- og klitfredningszone
http://www.mitvadehav.dk/media/8899/vadehavsmatematik.pdf - undervisningsideer fra ”På tur med matematikken” - Danmarks Matematiklærerforening
Se spændende fortælling og undervisningsideer under ” Hjelmepiger og sømdrenge
http://www.kystcentret.dk/ - se undervisningsmaterialer til andre fag

Hvem, hvad, hvor

Fag:Matematik, Billedkunst, Geografi
Klasse:7. - 9. klasse
Sted:Kyst og hav
Årstid:Forår, Sommer, Efterår, Vinter

Grej

Se hvad I skal bruge, under hver enkelt aktivitet.

Tid

Her er opgaver til flere timer.

Undervisningsmål

Matematik ved kysten – Fælles Mål   I forhold til Fælles M...
Matematik ved kysten – Fælles Mål
 
I forhold til Fælles Mål for matematik kan følgende kompetencer komme i spil. 
 
Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at:
  • opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) 
  • opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) 
  • afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence) 
  • forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) 
  • indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence) 
  • kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence).

Kolofon

Lars Hansen, underviser i matematik og håndværk på Den frie Lærerskole - læreruddannelse til friskoler, efterskoler og højskoler. E-mail: larsdfl@gmail.com.

Redaktør: Malene Bendix.

Foto: Kystdirektoratet, Lars Hansen og Malene Bendix.

Kommentarer